조합[불변량2] 3-2

불변량이 좀 더 심화된 문제들을 알아보자.

#5.칠판에 9999...99(9가 2002개) 가 쓰여 있다. 첫 번째 학생이 그 수를 ab(a,b>1)로 인수분해하여 칠판에 원래의 수를 지우고 |a-a'|=2, |b-b'|=2인 수 a',b'을 적는다. 그리고 두 번째 학생도 나와 첫번째 학생이 한 것처럼 반복한다. 유한명의 학생이 위의 방법으로 새로운 수를 계속 써갈 때, 칠판에 쓰여 있는 모든 수가 9와 같아질 수 있겠는가?
mod 4로 봤을때, 3->1,3이므로 3을 지우면 1,3이 써진다.
이때, 9999...99≡3(mod 4)이므로, mod 4로 3인 수를 지우고 다른 수를 써도 항상 mod 4로 3인 수가 존재하는데 9는 mod 4에 대해 3과 합동이 아니라서 모두 9가 될 수 없다.

#6.이차식 ax²+bx+c를 다음과 같은 두 규칙이 허용된다고 한다.

1)a와 c를 바꾼다. 2)임의의 실수 t에 대하여 x 대신에 x+t로 바꾼다.

이 때, x²-x-2가 x²-x-1로 바뀔 수 있는가?

D=b²-4ac

1)D1=b²-4ac라서 D는 일정

2)D2=b²-4ac=a²((b/a)²-4(c/a))=a²(x1-x2)²

D가 일정(단 x1,x2는 이차식의 해)

항상 D는 일정하다. 두 식의 D는 다르므로 바뀔 수 없다.
보기 드문 판별식을 사용하는 불변량 문제이다.

#7.2000개의 흰 공이 박스 안에 있다, 또 박스로 무한히 많은 흰색,초록색,빨간색 공을 충당할 수 있다. 매 시행마다, 박스 안의 두 개의 공을 다음의 규칙을 따라 한 개나 두 개의 공으로 교체한다.
두 개의 흰 공->한 개의 초록 공
두 개의 빨간 공->한 개의 초록 공
두 개의 초록 공->흰 공 하나와 빨간 공 한 개
한 개의 흰공과 한 개의 초록 공->빨간 공 한 개
한개의 초록 공과 한 개의 빨간 공->한 개의 흰 공
(1)많은 시행 후에 박스안에 3개의 공이 남았다. 적어도 한 개의 공은 초록색임을 보여라.
(2)적당한 시행후에 한 개의 공만 남는 것이 가능한가?

W(흰색)=i R(빨간색)=-i G(초록색)=-1 이라 하면 전체곱=i²⁰⁰⁰=1 은 불변이다.

(1)초록색이 없으면 ai=1 모순 초록색은 항상 존재한다.
(2)i,-i,-1≠1이므로 하나만 남을 수 없다.

#8.철수는 심심할 때 다음과 같은 놀이를 한다.
1)칠판에 n개의 1을 써 놓는다.

2)칠판에 쓰여 있는 수들 중 임의로 2개의 수 a,b를 지우고 대신 a+b/4를 쓴다.

3)위의 2)를 칠판에 1개의 수만 남을 때 까지 계속한다.

마지막 남은 수가 1/n 이상임을 보여라.

T2부등식에 의해 1/a+1/b≥4/a+b이다.

따라서 역수의 합은 증가하지 않는다.

초기=1/1+...+1/1=n 나중=1/a

n≥1/a라서 a≥1/n이다.