자, 우리가 level 1에서는 정말 "기본적인" 대입을 배웠다. 이제 조금 더 심화된 대입의 테크닉들에 대해서 알아보자. 1.반대부호 대입 예시문제) f(x²+y)=f(xⁿ+2y)+f(x⁴) (n은 홀수) P(x,0) : f(x²)=f(xⁿ)+f(x⁴) P(-x,0) : f(x²)=f(-xⁿ)+f(x⁴) 이때, 두 식을 비교하면 f(xⁿ)=f(-xⁿ)이다. 이때, xⁿ과 -xⁿ 모두 전체 실수를 표현할 수 있기 때문에 f는 상수함수임을 알 수 있고, f(x)=k라 두자. 이때, 이것을 원식에 대입하면 f(x)=0을 알 수 있다. 이렇게 반대부호를 사용함으로써 문제를 더 쉽게 풀 수 있다. 2.내부를 0으로 만들기 & 같게 만들기 이런 경우는 x,y에 수 또는 식을 맟춰서 넣어서 소거시키는 기술이다. 나..

오늘은 어제에 이어서 전단사 함수에 대해서 알아보자. 먼저 전사함수를 보자. 전사함수란 공역과 치역이 같은 함수를 말한다. 예를 들어 y=x,y=x^3은 전사함수이지만, y=x^2과 같은 함수는 음수부분이 나타나지 않기 때문에 전사함수가 아니다. 전사함수를 증명하는 방법은 f(상수가 아닌 어떤 식)=(모든 실수를 표현할 수 있는 식)인 꼴이 나오게 된다면 (대입으로) 전사함수이다. 예를 들어 f(f(x)+f(y))+f(f(x))=2f(x)+y라는 식에서 P(0,x)를 대입하면 f(f(0)+f(x))+f(f(0))=2f(0)+x가 된다. 즉, f(f(x)+f(0))=x+2f(0)-f(f(0))이 되므로 f는 전사함수이다.( f(0), f(f(0))은 상수이다. ) 그런데, 전사함수이면 뭐가 좋길래 증명하는..

함수방정식, 대수의 꽃이라고 해도 될 정도로 풀었을 때 엄청난 희열을 느낄 수 있는 문제들이다. 함수방정식에서 가장 중요한 것은 무엇일까? 그렇다. 말할 것도 없이 대입이다. 그러나 우리는 문제를 더 빨리 풀기 위해서는 더 효과적이고, 문제에 도움이 되는 대입을 해야한다. 자, 이제 예시문제를 보고 대입을 하여 문제를 풀어보자. 아, 그리고 이제 문제에서 명시를 하지 않으면 R=>R, 즉 실수가 정의역이고 공역도 실수인 함수로 한다. f(x)f(y)-f(xy)=x+y 먼저 위 식을 P(x,y)라고 하자. (만약 P(1,2)라면 x=1,y=2를 대입한 것을 의미한다. 물론 f(x)등의 식을 대입해도 가능하다.) P(x,0):f(x)f(0)-f(0)=x 이를 1번 식이라고 하자. =>f(x)=(x/f(0))..

부등식을 풀 때에는 여러가지 방법을 고려해볼 수 있는데 그 예시로, 산기,코시,T2,절대부등식(완전제곱식),역산기,재배열,전개 등등이 있다. 오늘 우리는 산기 트릭에 대해 알아보도록 하겠다. #1.양의 실수 a,b,c의 곱이 1 일 때, 다음을 증명하여라. a/b + b/c + c/a >= a + b + c 좌변을 쪼개서 산기로 a + b + c를 만들 생각을 할 수 있다. abc=1 이라는 조건이 있기 때문이다. 양변에 3을 곱하고 산기를 적용한다. a/b + a/b + b/c >=3a ......① b/c + b/c + c/a >=3b ......② c/a + c/a + a/b >=3c ......③ 세 식을 전부 더하면 충분하다. 다음 문제와 같이 좌변을 쪼개서 산기를 사용->우변을 만드는 그러한 ..