오늘은 구의 부피가 4πr³/3 인걸 증명해보려고 한다. 보통 교과서에서는 그냥 도구들을 사용해서 명확한 증명법을 알려주지는 않지만, 이번에는 제대로 해보려 한다. 먼저 이 증명을 하기 위해서 알아야할 사실로는 뿔의 부피가 (밑면)×(높이)/3인것과, 구의 겉넓이가 4πr²인것을 안다는 전제조건이 있다. 그럼 증명해보자. 이렇게 삼각뿔을 이용해서 증명할 수 있다. 물로 나중에 미적분을 이용해서 할 수도 있지만 이렇게 할 수 있다는 것에 의미를 두자. P.S 구의 겉넓이도 원기둥의 옆넓이를 이용해서 유도할 수 있습니다.

1.닮음에 관해서 닮음에 관한 문제를 풀때 바로 풀이법이 떠오르면 좋겠지만... 바로 풀이법이 떠오를거란 보장은 없기 때문에 다음의 풀이법을 소개하고 각 방법에 대한 평가를 해보도록 하겠다. 1)비례식 아직 닮음에 대한 숙련도가 부족하다면 필수적으로 세워야하는 비례식이다. △ABC∽△DEF 면 다음의 식이 성립한다. AB/DE=BC/EF=AC/DF △ABC 와 △DEF 의 닮음비를 식으로 나타낸 것이다. 물론 문제에서 저 세개의 항을 전부 이용하는 경우는 그렇게 많진 않지만 아직 닮음에 대한 숙련도가 부족하다면 세개를 전부 쓰는 것은 필수적이다. 2)각을 표시하기 각의 이등분선이나 평행선 등등을 봤을때 닮음이 잘 보이지 않는다면 꼭 해봐야할 것이다. 또한 닮음에서 공통각을 살펴보는 것도 해보도록 하자. ..

3명의 사람들을 일렬로 세우는 경우의 수는 얼마나 될까? 123 213 312 132 231 321 첫번째 칸에 올 수 있는 사람의 가짓수는 3가지, 두번째 칸에 올 수 있는 사람의 가짓수는 2가지, 마지막 칸에 올 수 있는 사람의 가짓수는 1가지로써 3×2×1=6가지가 3명의 사람들을 일렬로 세우는 경우의 수이다. 그렇다면 이 개념을 확장하여 n명의 사람들을 일렬로 세우는 경우의 수는 n×(n-1)×(n-2)×...×2×1=n!가지다. 8명의 사람에서 3명을 골라 줄을 세우는 경우의 수는 얼마나 될까? 머리속에 일렬로 나열된 세 의자를 상상하자. 왼쪽에서 가장 1번째 의자에 8명의 사람 중에 1명이 앉는다. 총 8가지의 가짓수가 존재한다. 그 다음에 2번째 의자에는 첫번째 의자에 앉은 사람을 제외한 7..

닮음에 관해서는 정말 할 말이 많다. 바로 들어가보도록 하자. 위의 사진을 통해 3가지의 닮음 관계에 대해서는 습득이 됐을거라고 본다. 사영정리 사진에는 표시되어 있지 않지만, AD⊥BC이고 △ABC는 직각삼각형이다.(⊥은 서로 수직이라는 뜻,직교) 저 도형에는 닮음이 엄청나게 많다. △BAC, △ADC, △BDA가 서로서로 닮음이다.(∠B를 b, ∠C를 c라고 하고 관찰해보자.) 이러한 관계를 통해 다음의 식이 유도된다. -AB2=BD×BC -AC2=CD×CB -AD2=BD×DC 수심 수심이란 삼각형의 각 꼭짓점에서 대변에 그은 수선들의 교점을 뜻한다. 따라서 AD⊥BC, BE⊥AC, CF⊥AB를 만족한다. 따라서 △BEC와 △ADC(∠C는 공통), △ADB와 △CFB(∠B는 공통), △BEA와 △CF..

닮음이란 무엇일까? 한 도형을 일정한 비율로 확대 또는 축소했을 때 다른 도형과 합동이면 그 두 도형을 닮음인 관계에 있다고 한다. 닮음의 이러한 정의 덕분에 아래의 2가지 성질이 존재한다. -닮음인 관계의 두 도형의 길이의 비 일정 -대응하는 각의 크기 같음 위의 성질에 대해 자세히 설명하자면, △ABC∽△DEF 이면, ∠A와 ∠D, ∠B와 ∠E, ∠C와 ∠F가 각각 같고 AB와 DE, BC와 EF, AC와 DF의 비가 일정하다는 것을 알 수 있다. ※위의 내용은 대상이 입체일때도 성립한다. 더보기 입체일때의 2가지 성질은 -대응하는 모서리의 길이의 비 일정 -대응하는 면은 서로 닮음의 관계 로 볼 수 있다. 관련 문제를 풀때의 팁(?) 1.변끼리의 비를 비율식을 통해 나타낸다.(a:b=c:d 같은 식..

1.사다리꼴 한 쌍의 변이 서로 평행 2.평행사변형 두 쌍의 변이 각각 서로 평행 두 대각선이 서로를 이등분한다 평행사변형이 되기 위한 조건 1.평평(두 쌍의 대변이 각각 서로 평행하다) 2.같같(두 쌍의 대변의 길이가 서로 같다) 3.각같각같(두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다) 4.대각선중점(두 대각선이 서로 다른 것(서로를)을 이등분한다) 5.평같(한 쌍의 대변이 서로 평행하고, 그 길이가 같다) 3.직사각형 네 각의 크기가 같은 사각형 두 대각선의 교점을 X라 했을때 X와 꼭짓점끼리의 거리가 전부 같다 4.마름모 네 변의 길이가 같은 사각형 두 대각선이 서로를 이등분하고 직교한다 5.정사각형 네 변의 길이가 같고,네 각의 크기가 같은 사각형 마름모와 마찬가지로 두 대각선이 직교하고 서로를 이등분한다..