닮음,경우의 수와 확률에 관한 팁들

1.닮음에 관해서

닮음에 관한 문제를 풀때 바로 풀이법이 떠오르면 좋겠지만... 바로 풀이법이 떠오를거란 보장은 없기 때문에 다음의 풀이법을 소개하고 각 방법에 대한 평가를 해보도록 하겠다.

 

1)비례식

아직 닮음에 대한 숙련도가 부족하다면 필수적으로 세워야하는 비례식이다. △ABC∽△DEF 면 다음의 식이 성립한다.

AB/DE=BC/EF=AC/DF

△ABC 와 △DEF 의 닮음비를 식으로 나타낸 것이다. 물론 문제에서 저 세개의 항을 전부 이용하는 경우는 그렇게 많진 않지만 아직 닮음에 대한 숙련도가 부족하다면 세개를 전부 쓰는 것은 필수적이다.

 

2)각을 표시하기

각의 이등분선이나 평행선 등등을 봤을때 닮음이 잘 보이지 않는다면 꼭 해봐야할 것이다. 또한 닮음에서 공통각을 살펴보는 것도 해보도록 하자. 각의 이등분선은 평행선과 매우 밀접한 관련이 있다. 각의 이등분선과 평행선이 있다면 각도도 옮겨보고 각의 이등분선 주변에 평행선이 없더라도 한번씩은 그려보는 것을 추천한다.

 

2-1)회전닮음

딱히 할 설명(피타고라스의 피타고라스 정리 증명과정을 생각해보자)은 없다. 도형을 회전시켜서 어떤 도형의 부분에 붙이거나 그런 형식으로 형성된 도형을 찾는 방법이다.

 

2-2)닮음 겹치기

닮음인 도형이 이미 하나는 보이는데 그것만으로는 부족한 상황이다. 이미 닮음인 도형에서 각이 같다는 것을 이용하여 새로운 닮음을 만들어나가자고 생각하자.

 

3)Homothetic(중심 닮음 변환)

평행한 선분들이 많을때 사용하는 방법이다. 어떤 상황을 소개하겠다.

직선 A,B가 서로 평행하고, 직선 C,D가 서로 평행하며, A,B,C,D가 전부 서로서로 평행하지 않다면 직선 A와 C의 교점을 X, 직선 B와 D의 교점을 Y라 할때 ∠AXC=∠BYD 이다.(그림을 그리면서 이해하면 편하다) 이해를 돕자면 평행사변에서 마주보는 각이 같다는 원리이다.

 

4)평행

출처:수학방

다음의 상황을 유연하게 이용하자.

a:b=c:d 면 a:ka+b=c:kc+d 이라는 것을 알 수 있다. 선을 평행이동시켜 저 식을 증명하는 것도 가능하다.

a:b=c:d 면 a:ka+b=c:kc+d 이라는 것을 이용하여 평행일때 사용할 수 있는 여러가지 식을 세워보자.

문제를 풀때는 목표를 잡고 문제를 푸는 것이 중요하다.(목표는 문제 안에서의 목표)

문제에서 무엇을 원하는지를 파악하고 어떤 선분의 길이와 어떤 각의 크기를 구하여 문제의 답을 유도하는 것

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2.경우의 수와 확률에 대해서

 

1)a+b=c라는 방정식에서 a,b 중에 더 작은 것을 고르기

위의 문장을 풀이하자면 바로 '여사건이라는 것을 생각하자'는 뜻이다.

만일 문제에서 숫자가 적힌 카드를 뽑을때 짝수가 무조건 포함되도록 뽑자고 했다.

숫자가 적힌 카드에 1,2,3,4...100이 전부 적혀있다면 어떤 짝수가 포함되는 경우인지 생각한 뒤에 하나하나 노가다하는 경우는 생각만 해도 끔찍하다. 그래서 여사건이 필요하다.

짝수가 무조건 포함되도록 뽑는 경우의 수=전체 경우의 수-홀수만 포함되는 경우

문제의 노가다가 너무 더럽다고 생각될때 잊지 말고 꼭 고려해보자.

 

2)큰 값부터 고려하기

500원, 100원, 50원을 사용하여 특정 금액(EX.3000원)을 채워보라고 권하는 경우가 있다. 우리가 여행가방을 쌀때 부피가 큰 물건을 먼저 넣고, 부피가 상대적으로 작은 물건을 넣듯이 수학도 과정에 큰 영향을 주는 것을 기준으로 노가다를 전개해나가야한다.

그러니 위의 금액을 채우는 문제같은 경우에는 500원이 0개 포함될때, 1개 포함될때,... 이런 방식으로 노가다를 해야한다는 것이다.

 

3)노가다에 대해서 거부감을 가지지 말기

만일 위의 방법이 전부 실패해도 문제가 풀리지 않는다면 다른 획기적인 방법을 통해 문제를 풀려고 하지 말고(그럴싸한 방법이 생각나면 하고) 노가다를 꼭 해봐야한다. 위의 방법은 노가다를 할 엄두가 나지 않을때 하는 것이다.

몇몇 문제는 실제로 노가다해서 풀어야하는 문제들도 있다...

 

각 방법에 대한 중요도(각 방법을 사용할 수 있는 경우나 사용하게 만들 수 있는 경우만 고려)

 

닮음

비례식 ★★★☆☆

각을 표시하기 ★★★★★

Homothetic(중심 닮음 변환) ★★☆☆☆

평행 ★★★★☆

 

경우의 수와 확률

a+b=c라는 방정식에서 a,b 중에 더 작은 것을 고르기 ★★★★☆

큰 값부터 고려하기 ★★★☆☆

노가다에 대해서 거부감을 가지지 말기 ★★★★★