중2 삼각형의 닮음 조건 2-5

출처:Life is Journey

닮음에 관해서는 정말 할 말이 많다. 바로 들어가보도록 하자. 위의 사진을 통해 3가지의 닮음 관계에 대해서는 습득이 됐을거라고 본다.

사영정리

출처:나는 지금 어디로 가는가

사진에는 표시되어 있지 않지만, AD⊥BC이고 △ABC는 직각삼각형이다.(⊥은 서로 수직이라는 뜻,직교)
저 도형에는 닮음이 엄청나게 많다.
△BAC, △ADC, △BDA가 서로서로 닮음이다.(∠B를 b, ∠C를 c라고 하고 관찰해보자.)
이러한 관계를 통해 다음의 식이 유도된다.

-AB²=BD×BC

-AC²=CD×CB

-AD²=BD×DC

수심

출처:리브레 위키

수심이란 삼각형의 각 꼭짓점에서 대변에 그은 수선들의 교점을 뜻한다.
따라서 AD⊥BC, BE⊥AC, CF⊥AB를 만족한다.
따라서 △BEC와 △ADC(∠C는 공통), △ADB와 △CFB(∠B는 공통), △BEA와 △CFA(∠A는 공통)가 AA 닮음을 이룬다.

이제부터 예시의 문제들을 살펴보며 다양한 닮음의 사례를 알아보자.

※다음의 문제의 출처들은 에이급수학 2-하 에 속하는 문제들이다.

 

각의 이등분선의 응용

#1.아래 그림에서 △ABC의 ∠A 및  ∠A의 외각의 이등분선과 BC 및 그 연장선의 교점을 각각 D,E라 할 때, AB=5, BC=4, CA=3이다. DE의 길이를 구하여라.

에이급 수학 104pg 14번

내각의 이등분선 정리는 다들 알고 있을 것이다. 이제 외각의 이등분선 정리를 사용해보자.

C를 AE에 대해 대칭시켜 BA의 연장선 위에 점 C'을 잡는다. 그렇다면 ∠BEA= ∠C'EA가 되어 각의 이등분선 정리를 사용할 수 있는 상태가 된다.

BE:EC'=BA:AC'

C'이 어떻게 만들어졌는지를 안다면, CE=C'E, AC=AC'이라는 것은 잘 알 수 있다. 따라서 위의 식이 다음과 같이 변형된다.

4+CE:CE=5:3 → CE=6

DC는 △ABC에서 각의 이등분선 정리를 사용하여 구할 수 있다.

AB:AC=BD:DC BD+DC=4 → DC=3/2

DE=DC+CE=15/2

위의 문제를 통해 우리는 저런 개형에서 각의 이등분선 정리를 사용하는 것을 고려해야 한다는 것을 알 수 있다.

 

닮음을 통한 비율 옮기기

#2.직사각형 ABCD를 오른쪽 그림과 같이 접었을 때, 점 B는 변 CD의 중점 E와 겹치게 된다. 이때 BP:PC를 구하여라.

에이급 수학 109pg 30번

도형을 잘 관찰해보자. BP=PE, △AED∽△EPC, AE=AD 등이 보인다. 이제부터 비율을 옮겨보도록 하자.

BP:PC=EP:PC=AE:ED=AB:ED=AB:1/2AB=2:1

문제에서 비율을 구하라고 물어본다면, 다음과 같이 비율을 옮겨보는 것을 추천한다.(닮음비를 사용하는 경우도 존재한다.)

 

비율을 활용한 연립방정식

#3.아래 그림의 평행사변형 ABCD에서 AD의 중점을 E, CD의 중점을 F, AF와 BE의 교점을 G, AF의 연장선과 BC의 연장선의 교점을 H라 할 때, △EGF의 넓이는 △HFC의 넓이의 몇 배인지 구하여라.

에이급 수학 110pg 33번

AG:GH=AE:BH=1:4

AF:FH=AD:CH=1:1

다음을 이용하면 AG:GF=2:3임을 알 수 있다.

△AEG=2S라 하면, △EGF=3S, △AFD=10S

△HFC=△AFD라서 △EGF의 넓이는 △HFC의 넓이의 3/10배이다.

 

+)

다음 글에는 닮음을 활용하는 더 어려운 문제들이 올라갈 예정이니, 다음의 글을 읽어보는 것을 추천한다.

각의 이등분선