위상수학 개념정리를 해볼까 한다. 개인적으로 제일 애정이 가는 과목이니만큼 깔끔하게 정리해보고 싶다. ※ Munkres를 기반으로 작성되었습니다. 1. 위상공간과 연속함수 - 위상 집합 X의 부분집합의 모임 T가 다음 성질을 가지고 있을 때, T를 X의 위상이라고 한다. 1) ∅ 과 X 가 T에 속한다. 2) T의 임의의 부분모임에 속하는 원소들의 합집합이 T에 속한다. 3) T의 임의의 유한 부분모임에 속하는 원소들의 교집합이 T에 속한다. ● 이 때, 위상 T가 주어진 집합 X를 위상공간이라 한다. 또, X의 부분집합 U가 T에 속하면 U를 열린집합이라고 한다. 위상 중 가장 먼저 떠오르는 것은 X의 모든 부분집합의 모임일 것이다. 이를 이산위상이라고 한다. X 와 ∅ 로만 이루어진 모임도 위상이며 ..

1. 푸리에 해석학의 기원 푸리에 해석학을 어쩌다가 고안하게 되었는지 나타내는 단원이다. - 현의 진동 ( 진동하는 현은 1차원 파동 운동이다. 이를 간단히 2종류로 나눠 설명할 수 있다. ) 1) 정상파 y=u(x, t) (x는 위치, t는 시각) u(x, t)를 a(x)b(t)꼴로 나타낼 수 있는 경우다. 2) 진행파 u(x, t)=F(x-ct)인 경우다. ( c > 0 ) 이 경우는 u(x, 0)이 좌표평면에서 오른쪽으로 이동한 것과 같다. 이제 파동 방정식을 유도해보자. 이는 악기의 음색을 담당하는 배음과 배음의 조합인 순음과 관련이 있다. 파동방정식 x축을 따라 x=0과 x=L 사이에 늘어진 균일한 하나의 현이 존재한다. 이 현이 진동하도록 놔두었을 때 y=u(x, t), 즉 y는 x와 t에 대..

※ 이 글은 정수론 첫걸음 교재를 바탕으로 작성되었습니다. #1.나눗셈 탐구 자연수의 정렬성(WOP) 공집합이 아닌 양의 정수의 부분집합에는 가장 작은 원소가 있다. 일반성을 잃지 않는다(WLOG) 모든 사례를 고려하는 대신, 특정 사례를 고려하고 나머지 사례에도 유사하게 적용한다. - 나눗셈 알고리즘 임의의 정수 a, b ( b≥1 )에 대하여 다음을 만족하는 유일한 정수 q와 r이 존재한다. q는 몫, r은 나머지라 부른다. a=bq+r, ( b>r≥0 ) 다음의 증명은 WOP를 이용하여 한다. 이것은 집합 S를 정의하는 것부터 시작된다. S={ a-mb: m은 정수이고 a-mb≥0 } STEP1) S≠∅ 증명 m=∣a∣를 a-mb에 대입 시, b≥1이라 a-∣a∣b는 0 이상이 된다. 따라서 S≠∅..

Fraleigh 3부 준동형사상과 잉여군부터 시작한다. #. ø(ab)=ø(a)ø(b) 만족 시, ø는 준동형사상이라 한다. ø: G→G', 모든 g∈G에 대하여 ø(g)=e'로 정의되는 ø는 자명 준동형사상이라 한다. 또, ø는 항등원, 역원, 부분군을 보존한다. ø의 핵 ø^-1[{e'}]은 ø의 핵이라 하고 Ker(ø)로 나타낸다. H=Ker(ø)라고 하자. a∈G일 때 집합 ø^-1[{a}]는 H의 좌잉여류 aH이고 또한 우잉여류 Ha이다. 결과적으로 H의 좌잉여류와 우잉여류로 나누는 G의 두 분할은 같다. ( 핵은 좌잉여류와 우잉여류가 같은 G의 부분군 H라 볼 수 있다. ) 군 준동형사상 ø: G→G'가 일대일이기 위한 필요충분조건은 Ker(ø)={e}이다. - 군 G의 부분군 H의 좌와 우잉..

0. 군의 성질 - 결합적 이항연산 - 항등원 - 역원 즉, 가환이 아니어도 됨. (가환군은 따로 Abel 군이라 부름) 1. 부분군 만약 군 G의 부분집합 H가 G의 이항연산 아래 닫혀 있고, G로부터 유도된 연산을 가지는 H가 그 자신이 군이면 H는 G의 부분군이라 한다. ( HH , H≤G 또는 G≥H 로 표기합니다. ) 군 G 자신은 비진부분군, 다른 모든 부분군은 진부분군이라 말한다. 또, {e}는 G의 자명 부분군이며 다른 모든 부분군은 비자명 부분군이다. - i∈I에 대하여 군 G의 부분군 Hi들의 공통집합은 다시 G의 부분군이다. 2. 순환군 STEP 1 ) =G이면 군 G의 원소 a가 G를 생성한다. ( 군 G=는 순환적이라고 한다. ) a는 G의 생성원, G는 순환군이 된다. 생성원은 ..

친구의 권유로 선형대수학을 시작하게 됐다. 사실 예전에 시작하긴 했었는데 벡터공간의 설명까지만 보고 한동안 안했어서 이번에 정식으로 시작하게 됐다. 개인적으로 15일차가 되기 전에 끝내고 싶지만 수능공부도 해야 하고, 능지이슈도 있고, 첫 대학수학이기도 하니 불가능해 보인다. 일단 초반을 똑바로 안 읽었어서(부분공간 찍먹하다가 접었었음) 다시 읽고... 책에서 F-벡터공간 V를 벡터공간 V로 줄여 적겠다는 말만 있어서 F가 왜 적힌건지 엄청 궁금했는데 음지에서 F-벡터공간 V는 스칼라가 F의 원소라는 의미라고 들었다. 음지를 믿어도 될지 모르겠는데... 그래서 C-벡터공간일 때는 체 R에 대해 닫혀있지 않아서 벡터공간이 정의되지 않기도 하다고... 하여튼 오늘 여러가지 많이 배웠는데 각각의 개념에 대한 ..