현대대수학 개념 정리 2

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Fraleigh 3부 준동형사상과 잉여군부터 시작한다.

#. ø(ab)=ø(a)ø(b) 만족 시, ø는 준동형사상이라 한다.

ø: G→G', 모든 g∈G에 대하여 ø(g)=e'로 정의되는 ø는 자명 준동형사상이라 한다.
또, ø는 항등원, 역원, 부분군을 보존한다.

ø의 핵
ø^-1[{e'}]은 ø의 핵이라 하고 Ker(ø)로 나타낸다.

H=Ker(ø)라고 하자. a∈G일 때 집합 ø^-1[{a}]는 H의 좌잉여류 aH이고 또한 우잉여류 Ha이다. 결과적으로 H의 좌잉여류와 우잉여류로 나누는 G의 두 분할은 같다. ( 핵은 좌잉여류와 우잉여류가 같은 G의 부분군 H라 볼 수 있다. )
군 준동형사상 ø: G→G'가 일대일이기 위한 필요충분조건은 Ker(ø)={e}이다.

- 군 G의 부분군 H의 좌와 우잉여류가 일치하면, 즉 모든 g∈G에 대하여 gH=Hg이면 H를 정규적이라 한다.

잉여군의 성질에 관하여...
ø: G→G'을 핵 H를 갖는 군 준동형사상이라고 하자. H의 잉여류들은 연산 (aH)(bH)=(abH)를 가지는 잉여군 G/H를 형성한다. p: G/H → ø[G]는 동형사상이다.
뒤늦게나마 말하자면 G/H를 가끔 H를 법으로 하는 G의 잉여군이리고 한다.

H가 G의 부분군이면 (aH)(bH)=(abH)이기 위한 필요충분조건은 H가 G의 정규부분군인 것이다.
( G의 원소 딱 반을 포함하는 모든 군 H는 정규부분군이다. )
( ø: G→G'가 군 준동형사상이라고 하면 Ker(ø)는 G의 정규적이다. )

G의 부분군 H가 G의 정규부분군이기 위한 세 가지의 동치조건
1. 모든 g∈G와 h∈H에 대하여 ghg^-1∈H이다.
2. 모든 g∈G에 대하여 gHg^-1=H이다.
3. 모든 g∈G에 대하여 gH=Hg이다.

+)
자기 자신으로의 동형사상을 자기동형사상이라 부르며 i_g: G→G는 g에 의한 내부자기동형사상이다. x 위에 실행 i_g를 g에 의한 x의 공액이라 한다. 

단순군
군이 비자명하고 비자명 진정규부분군들을 가지지 않는다고 하면 그 군을 단순군이라고 한다.

극대정규부분군
극대정규부분군 M은 G와 같지않고 그것을 완전히 포함하는 G의 진정규부분군 N이 존재하지 않는 정규부분군이다.

정리: M이 G의 극대정규부분군이 될 필요충분조건은 G/M이 단순군이다.