위상수학 개념 정리 1 미완

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위상수학 개념정리를 해볼까 한다. 개인적으로 제일 애정이 가는 과목이니만큼 깔끔하게 정리해보고 싶다.
※ Munkres를 기반으로 작성되었습니다.

1. 위상공간과 연속함수
- 위상
집합 X의 부분집합의 모임 T가 다음 성질을 가지고 있을 때, T를 X의 위상이라고 한다.
1) ∅ 과 X 가 T에 속한다.
2) T의 임의의 부분모임에 속하는 원소들의 합집합이 T에 속한다.
3) T의 임의의 유한 부분모임에 속하는 원소들의 교집합이 T에 속한다.
● 이 때, 위상 T가 주어진 집합 X를 위상공간이라 한다. 또, X의 부분집합 U가 T에 속하면 U를 열린집합이라고 한다. 

위상 중 가장 먼저 떠오르는 것은 X의 모든 부분집합의 모임일 것이다. 이를 이산위상이라고 한다.
X 와 ∅ 로만 이루어진 모임도 위상이며 이는 비이산위상이라 부른다.
집합 X에 오직 하나의 위상 T만 대응할 필요가 없다는 것을 느끼고 있을 것이다. 즉, X에는 여러가지 위상 T가 존재할 수 있다.
- 세밀과 엉성
주어진 집합 X의 두 위상 T, T'가 존재할 때, T' ⊃ T 라면 T'이 T보다 세밀하다고 하고 T가 T'보다 엉성하다고 한다.
또한, 위와 같이 두 위상 T, T'가 포함관계에 놓일 때, T와 T'은 비교가능하다고 한다.

위상과 위상의 일종의 크기 비교 개념을 배웠으니 이제 위상의 기저를 배워보고자 한다. 위상의 기저에서도 세밀과 엉성의 개념이 어느정도 포함되어 있다.

- 위상의 기저
위상의 기저에 대한 해석은 여러가지가 있다. 차근차근 살펴보자.
1. 집합 X의 위상의 기저 B는 다음 조건을 만족한다.
- 모든 x ∈ X 에 대해 x를 포함하는 기저원소 B가 존재한다.
- 만일 x가 B₁과 B₂의 교집합에 속한다면 x를 포함하는 기저 원소 B₃가 존재하여 x ∈ B₃ ⊂ B₁∩ B₂ 를 만족한다.

2. X가 위상공간이라 하자. B를, X의 열린집합 U와 U에 속하는 점 x에 대하여 x ∈ C ⊂ U 인 적당한 B의 원소 C가 존재하는, X의 열린집합의 모임이라 하자. B는 X의 위상의 기저이다. 

위상의 기저를 통해 위상의 세밀과 엉성을 비교한다.
B와 B'이 각각 X의 위상 T와 T'의 기저일 때, 다음은 동치이다.
1) T'이 T보다 세밀하다
2) 모든 x ∈ X 와 x를 포함하는 B의 기저원소 B에 대하여, x ∈ B' ⊂ B 인 B'의 기저원소 B'이 존재한다.

- 위상의 부분기저
X의 위상의 부분기저 L은 합집합이 X가 되는 X의 부분집합의 모임이며, 부분기저에 의해 생성되는 위상은 L의 원소를 유한 교집합하여 만든 집합들의 임의의 합집합의 모임 T로 정의된다.
즉, 합집합이 X가 되는 X의 부분집합의 모임이면 무엇이든 부분기저가 된다. 또, L의 원소를 유한 교집합하여 만든 집합은 부분기저 L에 의해 생성되는 위상의 기저라고 볼 수 있다. 

위상의 기본적인 개념은 여기까지이며 여러가지 위상이 정의되어 다방면에서 활용된다. 집합 X는 실수체가 될 수도, 집합이 될 수도, 동치류의 모임이 될 수도 있는 등 경우의 수가 많다.
이제, 몇가지의 위상을 소개해보도록 하겠다.

1. 순서위상
X가 단순순서집합일 때, 순서관계를 사용하여 정의되는 X의 위상을 순서위상이라고 부른다. 여기서 X는 단순순서관계 < 를 가지고 있다고 한다.
이 위상의 기저의 구성요소는 다음과 같다.
- X에 포함되는 모든 열린구간 (a, b)
- X의 최소원소가 존재하고 그 값이 a'일 때, [a', b) 형태의 모든 구간
- X의 최대원소가 존재하고 그 값이 b'일 때, (a, b'] 형태의 모든 구간

2. 곱위상
X와 Y를 위상공간이라 하자. X × Y 의 곱위상은 X의 열린집합 U와 Y의 열린집합 V에 대하여 U × V 형태의 집합의 모임 B를 기저로 갖는 위상이다.
+) X의 기저를 M이라 하고 Y의 기저를 N이라 할 때

K= { m × n | m ∈ M, n ∈ N }

K는 X × Y 의 위상의 기저이다.
사영함수를 정의하여 곱위상의 부분기저에 대해서도 논할 수 있다.

- 사영함수
π₁: X × Y → X
π₁(x, y) = x

π₂: X × Y → Y 
π₂(x, y)=y

위와 같이 함수가 정의되었다고 하면 π₁, π₂는 전사함수고 사영함수라 부른다.
이것의 역함수의 합집합은 X × Y의 위상의 부분기저이다. 

3. 부분위상

B가 X의 위상의 기저이고, Y가 X의 부분공간일 때

B_Y = { B ∩ Y | B ∈ B }

를 Y의 부분위상의 기저라 한다.

이러한 위상에 대해 여러가지 특징이 따라 나온다.
ex. A × B 의 부분위상의 기저와 A × B의 곱위상의 기저가 동일하다. ( A는 X의 부분공간, B는 Y의 부분공간 )

위상의 추가적인 정의들을 이제 알아보자.

1. 볼록
주어진 순서집합 X와 X의 부분집합 Y에 대하여, Y의 임의의 두 점 a < b 에 대하여 구간 (a, b)의 점 모두가 Y에 속할 때, Y를 X에서 볼록하다고 한다. 

2. 닫힌집합
위상공간 X의 부분집합 A에 대하여 X - A 가 열린집합일 때, A를 닫힌집합이라고 한다.
(닫힌집합을 통해 위상공을 다시 정의할 수 있다.)

3.