현대대수학 개념 정리 1

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0. 군의 성질
- 결합적 이항연산
- 항등원
- 역원
즉, 가환이 아니어도 됨. (가환군은 따로 Abel 군이라 부름)

1. 부분군
만약 군 G의 부분집합 H가 G의 이항연산 아래 닫혀 있고, G로부터 유도된 연산을 가지는 H가 그 자신이 군이면 H는 G의 부분군이라 한다.
( H<G 또는 G>H , H≤G 또는 G≥H 로 표기합니다. )
군 G 자신은 비진부분군, 다른 모든 부분군은 진부분군이라 말한다. 또, {e}는 G의 자명 부분군이며 다른 모든 부분군은 비자명 부분군이다.

- i∈I에 대하여 군 G의 부분군 H_i들의 공통집합은 다시 G의 부분군이다. 

2. 순환군
STEP 1 ) <a>=G이면 군 G의 원소 a가 G를 생성한다. ( 군 G=<a>는 순환적이라고 한다. )
a는 G의 생성원, G는 순환군이 된다.

생성원은 단순히 G가 순환군일 때만 사용되는 단어는 아니다. 따라서 {a,b}가 G의 생성원일 수도 있다. 다만, 이때 G는 순환군이 아니다. 

3. 치환군

S_A를 A의 모든 치환의 모임이라고 하자. S_A는 치환의 곱셈 아래서 군을 이룬다.

A={1, 2, ... , n}이면 A의 모든 치환들의 군은 n문자에 대한 대칭군이라 하고 Sn이라 나타낸다.
Sn은 n차 이면체의 대칭들의 군 Dn도 된다.
이를 이해하기 위해 n=3인 경우를 예시로 들자면 S3에 속한 치환들은 정삼각형을 돌리거나 선대칭시켜 포갰을 때 나오는 치환과 같다고 볼 수 있다.
+) D4는 정사각형의 대칭들의 군이며 8원군이라고도 부른다.

Cayley 정리 : 모든 군은 치환군에 동형이다.