선형대수학 공부하기 1일차

친구의 권유로 선형대수학을 시작하게 됐다.
사실 예전에 시작하긴 했었는데 벡터공간의 설명까지만 보고 한동안 안했어서 이번에 정식으로 시작하게 됐다.
개인적으로 15일차가 되기 전에 끝내고 싶지만 수능공부도 해야 하고, 능지이슈도 있고, 첫 대학수학이기도 하니 불가능해 보인다. 

출처: 위키피디아

일단 초반을 똑바로 안 읽었어서(부분공간 찍먹하다가 접었었음) 다시 읽고...

책에서 F-벡터공간 V를 벡터공간 V로 줄여 적겠다는 말만 있어서 F가 왜 적힌건지 엄청 궁금했는데
음지에서 F-벡터공간 V는 스칼라가 F의 원소라는 의미라고 들었다. 음지를 믿어도 될지 모르겠는데...

그래서 C-벡터공간일 때는 체 R에 대해 닫혀있지 않아서 벡터공간이 정의되지 않기도 하다고...

하여튼 오늘 여러가지 많이 배웠는데 각각의 개념에 대한 인상을 적어보겠다.
 
 

1. 부분공간
일단 초반에 개념 볼 때는 벡터공간이랑 이름 헷갈렸다. (능지이슈)
예제 풀면서 느낀건데 직관이 안 통하는 것 같다. (능지이슈)

2. 생성공간

처음에는 빨리 넘겼는데 나중에 여기랑 일차결합 관련 lemma가 많아서 자주 돌아보게 됐다...

"벡터공간 V의 부분집합 S의 생성공간은 S를 포함하는 부분공간이며, 벡터공간 V의 S를 포함하는 부분공간은 span(S)를 포함한다."

개인적으로 처음 봤을 때 -> 이해 감 -> 넘김
나중에 증명할 때 사용할 수 있음 -> 쓸 수 있는거 의식 못함

진짜 lemma(?)를 잘 이용하는 게 필요하다.

3. 일차종속, 일차독립
만만하다. 근데 나중에 차원으로 확장하는 게 참 인상깊었고 연장해서
T: V-> W 선형변환
nullity(T)+rank(T)=dim(V)
가 되는 것의 기초였다고 생각하니 가슴이 웅장해진다.

4. 기저
이름이 멋지다. 별거 아닌줄 알고 넘겼는데 역시나 기본개념이라 나중에 많이 쓰였고 뒤통수 맞았다.
 
5. 하우스도르프의 극대원리

사슬 C를 잡는다는 아이디어가 평면에 점 잡고 볼록포? 만드는거랑 기믹이 비슷한 것 같다.
신선하고 좋았다. 여기서 자꾸 가정한 개념을 보고 당연한 개념이라고 적어둔 줄 알고 고민하는 바보짓을 했다...

"일차독립 극대 부분집합=기저"를 보이는 과정에서 
집합족 F에 있는 임의의 사슬 C를 포함하는 F의 멤버 U가 존재함을 보이는 과정이 있었는데
그 과정에서 사슬의 개념을 사용해 U가 일차독립임을 보이는 파트를 통해 모든 벡터공간은 기저를 갖는다고 결론까지 가는 것이 여태까지의 개념을 총동원하여 큰 문제(?)를 해결한 것 같아 설렜다.
이때, 앞에서 했던 개념들이 몇개 안 떠올라서 제대로 외우고 숙지하고 오느라 좀 걸린 것 같다.

6. 선형변환
항등변환, 영변환, 상공간, 영공간 보고 충격먹었다.

N(T)랑 R(T)로 새로 적어가지고 여러가지 증명하는 거 보고 충격먹었다.
T(0+0)=T(0)+T(0)인거 모르고 단사 증명 과정에서 한동안 고민했다는...

일단 공부는 여기까지 했다.
 
여태까지 공부하면서 선대에 대해 멋졌던 점
1. 기벡에서 배우는 벡터의 개념을 확장하고 벡터공간을 새로 정의할 때. 8가지 조건이 참 멋있었다.
2. 부분공간, 생성공간, 기저의 협력을 통한 하우스도르프 극대정리
3. 라그랑주 보간법 증명 (선대가 이용된 실용적인 것이라는 생각이 들었다)
4. nullity(T)+rank(T)=dim(V) 증명


+) 내일부터는 미분적분학까지 같이 시작하고 싶은데...

3일 연속 학원...