함수방정식-대입의 테크닉(level 3)

자, 우리가 level 1에서는 정말 "기본적인" 대입을 배웠다.

이제 조금 더 심화된 대입의 테크닉들에 대해서 알아보자.

 

1.반대부호 대입

예시문제)

f(x²+y)=f(xⁿ+2y)+f(x⁴) (n은 홀수)

 

P(x,0) : f(x²)=f(xⁿ)+f(x⁴)

P(-x,0) : f(x²)=f(-xⁿ)+f(x⁴)

이때, 두 식을 비교하면 f(xⁿ)=f(-xⁿ)이다.

이때, xⁿ과 -xⁿ 모두 전체 실수를 표현할 수 있기 때문에

f는 상수함수임을 알 수 있고, f(x)=k라 두자. 이때, 이것을 원식에 대입하면 f(x)=0을 알 수 있다.

 

이렇게 반대부호를 사용함으로써 문제를 더 쉽게 풀 수 있다.

 

2.내부를 0으로 만들기 & 같게 만들기

이런 경우는 x,y에 수 또는 식을 맟춰서 넣어서 소거시키는 기술이다. 나중에도 많이 사용하는 전략.

예시문제)

f(x+f(y))=2f(xf(y))

 

P(f(x)/f(x)-1,x) : f(f(x)²/f(x)-1)=0

이제 이 조건을 사용하는데, 먼저 f(x)²/f(x)-1=k라 치환하자.(k는 상수라 말할 수 없다)

P(x,k) : f(x)=2f(0)

따라서 f는 상수함수이고, 원 식에 대입하면 f(x)=0이다.

 

 

3.유일성 보이기

이 경우는 문제로 한번 보자.

대충 말하면 함수가 "섞이는가"에 대한 부분이라 말할 수 있다.

예시문제)

yf(x)+xf(y)=f(x)f(y) (다른 방법으로도 풀 수 있지만 일단 유일성으로 풀어보자.)

 

P(x,x): f(x)(f(x)-2x)=0 -> f(x)=0,2x or 두개다 섞인 것

(ex)x가 양수면 2x, x가 음수나 0이면 0

if

f(a)=0(a는 0이 아니다)

f(b)=2b(b는 0이 아니다)

P(a,b): 2ab=0 -> 모순

따라서 f(x)=0,2x

 

오늘은 여기까지~