함수방정식-대입의 기본(level 1)

함수방정식, 대수의 꽃이라고 해도 될 정도로 풀었을 때 엄청난 희열을 느낄 수 있는 문제들이다.
함수방정식에서 가장 중요한 것은 무엇일까?
그렇다. 말할 것도 없이 대입이다. 그러나 우리는 문제를 더 빨리 풀기 위해서는 더 효과적이고, 문제에 도움이 되는 대입을 해야한다. 자, 이제 예시문제를 보고 대입을 하여 문제를 풀어보자.
아, 그리고 이제 문제에서 명시를 하지 않으면 R=>R, 즉 실수가 정의역이고 공역도 실수인 함수로 한다.

f(x)f(y)-f(xy)=x+y
먼저 위 식을 P(x,y)라고 하자.
(만약 P(1,2)라면 x=1,y=2를 대입한 것을 의미한다. 물론 f(x)등의 식을 대입해도 가능하다.)
P(x,0):f(x)f(0)-f(0)=x 이를 1번 식이라고 하자.
=>f(x)=(x/f(0))+1
이제, f(0)을 구해보자.
P(0,0)=f(0)^2-f(0)=0
=>f(0)=0,1이다.
그러나, f(0)=0이라면 1번식에서 x=0인데, x는 모든 실수가 가능하기 때문에 모순이다.
따라서 f(0)=1이고, f(x)=x+1이 된다고 나온다.
원식에 대입시 성립.

※중요-마지막에 나온 식을 원식에 꼭 대입해야한다. 대입했는데 원식이 항등식이 아니면 그 식은 답이 아닌 것이다.

여기서 이런 대입을 생각할 수 있는 이유는 무엇이었을까?
그 이유는 0이라는 숫자가 식을 더 간단하게 만들어주기 때문이라고 말할 수 있겠다.
함수방정식에서 대입할때 0을 대입하는 것은 기본이라고 말할 수 있다.
그래서 나중에는 0을 만들기 위해서 다른 식들을 대입하는 경우도 존재한다.
그런 내용들은 조금 더 어려운 내용을 다루는 문서에 적겠다.
오늘은 여기까지~