함수방정식-전단사 함수(level 2)

오늘은 어제에 이어서 전단사 함수에 대해서 알아보자.
먼저 전사함수를 보자.
전사함수란 공역과 치역이 같은 함수를 말한다.
예를 들어 y=x,y=x^3은 전사함수이지만, y=x^2과 같은 함수는 음수부분이 나타나지 않기 때문에 전사함수가 아니다.
전사함수를 증명하는 방법은
f(상수가 아닌 어떤 식)=(모든 실수를 표현할 수 있는 식)인 꼴이 나오게 된다면 (대입으로) 전사함수이다.
예를 들어 f(f(x)+f(y))+f(f(x))=2f(x)+y라는 식에서
P(0,x)를 대입하면 f(f(0)+f(x))+f(f(0))=2f(0)+x가 된다.
즉, f(f(x)+f(0))=x+2f(0)-f(f(0))이 되므로 f는 전사함수이다.( f(0), f(f(0))은 상수이다. )
그런데, 전사함수이면 뭐가 좋길래 증명하는 것일까?
만약 f가 전사함수라면, f(k)=l인 k를 둘 수 있게 된다.(k,l은 상수)
그 이유는 f가 모든 수를 표현할 수 있기 때문에, l이 무엇이든 그것을 나타내는 k가 존재하기 때문이라 볼 수 있다.

이제 단사함수에 대해 알아보자.
단사함수란 어떤 함숫값이 각 숫자에 1개씩만 대응되는 함수를 말한다. 간단하게 말하면 일대일 함수와 같다.
예를 들어 y=49284959x는 단사함수이지만, y=|x|는 양수부분에서 함숫값을 나타내는 수가 2개씩 있기 때문에 단사함수가 아니다. 단사함수를 보이는 방법은 f(a)=f(b)인 a,b가 존재할때, a와 b를 식에 대입해서 a=b를 보이는 것이다.
예를 들어 f(f(x)+y)=x+f(f(f(x)))+y라는 식에서 y=0을 대입하면
f(f(x))=x+f(f(f(x)))가 되는데, f(a)=f(b)=k인 a,b를 두면
x=a대입->f(k)=a+f(f(k))
x=b대입->f(k)=b+f(f(k))
이 두식을 비교하면 a=b를 알 수 있기 때문에 f는 단사함수이다.
이제 단사함수를 증명하면 무엇을 사용할 수 있는지 보자.
단사함수를 증명하면 f(q)=f(g)일때, (q,g는 변수여도 되고, 상수여도 된다)
q=g이다.

※참고-강단조함수는 전단사 함수, 단조함수는 전사함수이다.

이제 전사함수와 단사함수에 관련된 문제를 풀어보자.
f가 강단조함수일때, 다음을 만족하는 함수 f를 구하여라.
f(f(x)-y)+f(x+y)=0
먼저 f가 강단조함수이므로 전단사함수임을 알 수 있다.
그럼 전사함수의 성질을 이용해서 f(k)=0인 k를 두자.(k는 상수)
P(k,0) : f(0)+0=0 -> f(0)=0
P(0,x) : f(f(0)-x)+f(x)=0 -> f(x)=-f(-x)
그럼 원식에서 식을 약간 변형하면
f(x+y)=f(y-f(x))가 되고, 단사함수의 성질을 이용하면 x+y=y-f(x)
따라서 f(x)=-x가 나오게 되고, 원식에 대입시 성립.

오늘은 여기까지~