대수[부등식-산기와 역산기] 1-1

부등식을 풀 때에는 여러가지 방법을 고려해볼 수 있는데

그 예시로, 산기,코시,T2,절대부등식(완전제곱식),역산기,재배열,전개 등등이 있다.

오늘 우리는 산기 트릭에 대해 알아보도록 하겠다.

 

#1.양의 실수 a,b,c의 곱이 1 일 때, 다음을 증명하여라.

 

a/b + b/c + c/a >= a + b + c

 

좌변을 쪼개서 산기로 a + b + c를 만들 생각을 할 수 있다. abc=1 이라는 조건이 있기 때문이다.

양변에 3을 곱하고 산기를 적용한다.

a/b + a/b + b/c >=3a ......①

b/c + b/c + c/a >=3b ......②

c/a + c/a + a/b >=3c ......③

 

세 식을 전부 더하면 충분하다.

다음 문제와 같이 좌변을 쪼개서 산기를 사용->우변을 만드는 그러한 방법이 드물지 않게 등장한다.

 

#2.임의의 양의 실수 a,b,c와 임의의 음이 아닌 정수 p에 대해 다음을 증명하여라.

a^p+2+b^p+2+c^p+2 >= a^pbc+b^pca+c^pab

산기를 쓰기 딱 좋은 구성이다.

a^p+2,b^p+2,c^p+2를 각각 (p+2)a^p+2/p+2 (p+2)b^p+2/p+2 (p+2)c^p+2/p+2로 변형시켜 다음과 같이 묶는다.

 

pa^p+2+b^p+2+c^p+2/p+2 ≥p+2√(a^p+2)^pb^p+2c^p+2=a^pbc         

마찬가지로 하면 위의 식을 만족한다.

 

#3.a,b,c∈(0,1)일 때, 다음을 증명하여라.

√abc + √(1-a)(1-b)(1-c) < 1

0<a,b,c<1이기 때문에 √abc≤³√abc, √(1-a)(1-b)(1-c)≤³√(1-a)(1-b)(1-c)

 

LHS≤³√abc+³√(1-a)(1-b)(1-c)≤a+b+c+3-(a+b+c)/3=1

 

#4.a,b,c는 양의 실수이다. 다음을 증명하여라.

A=a/b + b/c +c/a ≤ B=a²/b² + b²/c² + c²/a²

코시를 이용 B≥1/3(A)^2=1/3(B+2A)

1/3(a²/b² + a/c + c/b)≥3√a²/b²×a/c×c/b=a/b

마찬가지로 하면, A≤B임을 알 수 있다.

 

#5.a,b,c>0이고 a²+b²+c²=3일때, 다음을 증명하여라.

1/a³+2 + 1/b³+2 + 1/c³+2≥1

1/2×2/a³+2≥1/2(1-a²/3)

마찬가지로 한 후에 식을 다 더해주면 준식이 성립한다.