정수 #5.여러가지 부정방정식(미완)

이번 시간에는 몇가지의 부정방정식들의 풀이를 들며, 부정방정식의 다양한 팁들을 설명해보고자 한다.

 

 

#1.(4x-y)(4y-x)=30⁶을 만족하는 자연수의 순서쌍의 개수는?

식 치환

4x-y=a 4y-x=b 치환

4a+b≡0(mod 15)

a+4b≡0(mod 15)

이 두 식을 서로 빼면 a≡b(mod 15)임을 알 수 있다.

a/15 · b/15=2⁶×3⁴×5⁴

순서쌍의 개수는 7×5×5=175개

부정방정식을 전개하기 어려울 때, 이러한 형식으로 치환을 하여 문제를 풀어나갈 수 있다.

 

#2.(a+b+2)/c=ab-2c 을 만족하는 자연수의 순서쌍 (a,b,c) 의 개수를 구하여라.

대소비교

c가 최대라면 2c≤ab≤c²  c=1,2

c=1 (a-1)(b-1)=5 ->(2,6,1), (6,2,1)

c=2 (2a-1)(2b-1)=21 ->(11,1,2), (1,11,2), (4,2,2), (2,4,2)

WLOG a가 최대(a가 최대이든 b가 최대이든 a+b와 ab가 대칭식이기 때문에 큰 상관이 없다.)

c≤(b+2+2c²)/(bc-1)=a c≥3인 경우만 생각시 b≤2

이 경우도 노가다할시 나온다.

 

#3.m+n²/m²-n, m²+n/n²-m이 모두 정수가 되도록 하는 양의 정수 m,n을 모두 구하라.

대소치환

WLOG m>n m=n+k라고 둘 수 있다.

m+n²/m²-n이 미리 정한 대소관계에 의해 자연수가 되어 m²-n≤m+n²

m=n+k를 사용하여 식을 풀어보면,

2nk+k2≤2n+k

k=1이다. 이때, 가능한 (m,n) 순서쌍은 각자 구하자.

m=n일때는 해보면 (2,2), (3,3)

 

#4.