KMO(23)
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정수 #2.소인수분해 관점과 최대공약수 설정
#2.소인수분해 관점과 최대공약수 설정 a,b 는 서로소인 정수라 하자. 임의의 자연수 c에 대하여, a+bx와 c가 서로소가 되도록 하는 정수 x가 존재함을 보여라. b,c의 모든 공통소인수를 p1,p2,....pt라 하자. 이제 b=p1e1...ptet×b' c=p1f1...ptet×c' gcd(c',b')=1 gcd(b,c')=1 이므로, bx≡1-a(mod c')인 정수 x가 존재한다. 따라서 gcd(a+bx,c')=1이다. 한편, 만약 gcd(a+bx,pi)=pi면 (pi,a)=1인데 이는 조건 gcd(a,b)=1와 모순이다. 따라서 gcd(a+bx,p1p2...pt)=1 c=p1f1...ptft×c'이라 gcd(a+bx,c)=1 을 얻는다. 중국인의 나머지 정리(CRT) b1,b2...,bn이..
2021.10.25 -
대수[부등식-산기와 역산기] 1-1
부등식을 풀 때에는 여러가지 방법을 고려해볼 수 있는데 그 예시로, 산기,코시,T2,절대부등식(완전제곱식),역산기,재배열,전개 등등이 있다. 오늘 우리는 산기 트릭에 대해 알아보도록 하겠다. #1.양의 실수 a,b,c의 곱이 1 일 때, 다음을 증명하여라. a/b + b/c + c/a >= a + b + c 좌변을 쪼개서 산기로 a + b + c를 만들 생각을 할 수 있다. abc=1 이라는 조건이 있기 때문이다. 양변에 3을 곱하고 산기를 적용한다. a/b + a/b + b/c >=3a ......① b/c + b/c + c/a >=3b ......② c/a + c/a + a/b >=3c ......③ 세 식을 전부 더하면 충분하다. 다음 문제와 같이 좌변을 쪼개서 산기를 사용->우변을 만드는 그러한 ..
2021.10.25 -
정수 #1.mod의 기본 성질
#1.수열에서의 m의 배수 찾기 x1=-2 x2=5이고 모든 자연수 n에 대해서 xn+2=xn-2xn+1와 같이 정의된 수열 {xn}을 생각하자. 주어진 자연수 m에 대하여 {xn,n은 모든 자연수}의 원소 중에는 m의 배수가 존재함을 보여라. xn을 m으로 나눈 나머지를 rn이라고 하면 (r1,r2).....(rm^2+1,rm^2+2)에는 같은 두 쌍이 있다. (ri,ri+1)=(ri+k,ri+k+1) ri-1=2ri+ri+1≡2ri+k+ri+k+1≡ri+k-1(mod m) ri+2=ri-2ri+1≡ri+k-2ri+k+1≡ri+k+2(mod m) 따라서 xn=xn+k(mod m) n≤0일때도 확장해서 생각시, x0=1 x-1=0 x2k-1≡xk-1≡x-1≡0(mod m) 다음 문제처럼 수열에서 m의 배..
2021.10.24 -
그래프이론
그래프의 정의 가장 일반적인 의미에서 그래프(graph)는 순서쌍 G = (V, E)으로 볼 수 있으며, 여기에서 집합 V는 꼭짓점, E는 변 을 의미한다. 혼동을 피하기 위해, 방향이 없는 단순한 그래프 만을 다루겠다. 복잡하게 생각하지 말고, 가장 대표적인 예시로는 10명의 사람들이 인사를 주고받을 때, 10명을 점으로 하고 인사를 주고받았다면 선으로 연결, 주고 받지 않았더라면 연결하지 않았을 때, 나오는 모양을 의미한다. 점들의 배치는 중요하지 않다. 그래프 용어 1. n-정규그래프 n-정규그래프는 모든 점들의 차수가 n 으로 동일한 것을 의미한다. 위 예시로는 각 10명이 모두 인사를 7명에게 하였을 때, 나오는 그래프 이다. 2. 이분할그래프 이분할 그래프는, 두 그룹으로 나누어진 점에 의해 ..
2021.10.09 -
호중점
원 E는 C에서 원 A와 접하고, DH는 원 E의 접선일때, (조건) CG와 우호DH의 교점은 우호 DH의 중점이다. (결론) 그 이유는 여기서는 생략하지만, 간단하게 말하자면 C가 두 원의 바깥 닮음의 중심이므로 CG와 원 A의 교점을 K라고 했을 때 G와 K가 서로 대응되고, E와 A가 서로 대응되므로 △CGE와 △CKA가 닮음의 위치에 있으므로 KA가 DH를 수직이등분하기 때문이다.
2021.09.24