중2 일차방정식과 연립방정식 1-1

들어가기에 앞서,

좌변과 우변

 

3a+b=c일때

3a+b는 좌변이고,c는 우변이다.

 

 

일차방정식이란?

쉽게 말하면 x+100y-889=0처럼 우변에 있는 항을 좌변으로 이항했을때

x^2,x^3 같은 지수가 있는게(!) 없으면 된다.

(일차방정식에서 미지수의 개수는 중요하지 않다,x+y+z-3=0도,x+1=0도 일차방정식이다)

                                             일차방정식여부

x+y+3=0                                        O

x^2+x+3=x^2+y+z                       O (양변의 x^2이 소거되면서 지수 있는게 사라진다)

x^2+y^2+6x=0                             X (지수가 있는게 있다)

연립방정식이란?

식 2개가 모인거다.

ex)

x-y=1

x+y=3

연립방정식의 해를 물어보는 것은 저 두 식을 만족하는 (x,y)를 구하라는 뜻이다.

 

연립방정식을 풀때의 마음가짐

-미지수중에서 하나만 남기는 식을 만든다고 생각하자

(저 식에서 y를 소거하고 싶다면 두 식을 더하자)

 

 

연립방정식예제

 

 

1.윤하의 지은이가 함께 하면 4시간 걸리는 작업을

윤하가 먼저 2시간 작업한 후 나머지를 지은이가 8시간 작업하여 끝냈다.

윤하가 혼자서 작업을 하면 끝내는데 몇 시간이 걸리는지 구하여라.

 

연립방정식의 문제는 변수를 설정하는 것이 바람직하다.

윤하의 시간당 효율:a

지은의 시간당 효율:b

전체 작업에 필요한 일:N

(만약 윤하가 3시간 일하면 생기는 일을 물어봤다면 3*a로 보면 된다)

 

4(a+b)=N ........ [1]

2a+8b=N ........ [2]

이 두식을 도출해낼 수 있다.

4(a+b)=N=2a+8b이므로 계산시

a=2b라는 결과를 얻을 수 있다.

이제 이 식을 [1]식에 대입시 N=4(a+a/2)=6a

윤하의 시간당 효율은 a이므로 작업을 윤하 혼자 끝내려면 6시간이 걸린다.

 

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2.어느 학교의 올해 학생 수는 작년에 비하여 남학생은 8% 증가하고,

여학생은 5% 감소하여 전체 학생 수는 9명이 많아진 869명이 되었다.

올해 남학생과 여학생 수를 각각 구하여라.

 

 

남학생과 여학생 수를 물어보고 있다

->작년 남학생수:x

   작년 여학생수:y

로 잡자

 

+추가사항)

x가 a% 증가한 값은 x(1+a/100)

x가 a% 감소한 값은 x가 -a% 증가한 값으로 봐도 된다

 

올해 남학생수:x(1+8/100)=108/100 x

올해 여학생수:y(1-5/100)=95/100y

작년 학생수:869-9=860

올해 학생수:869

 

남학생수+여학생수=학생수 임을 활용하자

 

작년의 경우, 이 식을 세워보면

x+y=860 ....... [1]

올해의 경우, 이 식을 세워보면

108/100 x+95/100 y=869 .......[2]

 

[2]에 100을 곱하여 분수를 없애주자

108x+95y=86900 ....... [3]

x+y=860 ....... [1]

 

앞에서 말했던 것처럼 저 두 식을 만족하는 (x,y)는 미지수중 하나를 소거해서 얻어낼 수 있다.

[1]에 108을 곱해서 [3]과 빼주거나 [1]에 95를 곱해서 [3]과 빼주면 해를 구할 수 있다.

 

x=400 y=460이므로

올해 남학생수,여학생수 는 각각 400x108/100=432, 460x95/100=437

 

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3.등산로를 올라갈 때는 시속 2km로 걷고,

내려올때는 올라갈 때와 다른 길을 택하여 시속 4km로

걸었더니 모두 3시간 30분이 걸렸다. 이동한 거리가 총 10km일 때,

올라간 거리와 내려온 거리를 각각 구하여라

 

 

각자 풀어보도록 하자

 

이동거리=시간x속력 활용

 

(!):지수가 2 이상인거를 지수가 있는게로 적었다. 사실 x도 지수가 있다.